جواب کاردرکلاس صفحه 127 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۲۷ حسابان یازدهم سلام! این تمرین بر مفهوم **حد در نقطه پرش** و تابع **علامت** ($athbf{f(x) = \text{sgn}(x)}$) متمرکز است. 💡 --- ### الف) نوشتن تابع به صورت دوضابطه‌ای **دامنه تابع**: چون مخرج $x$ است، دامنه $\mathbf{x \ne ۰}$ است. با استفاده از تعریف قدر مطلق ($athbf{|x| = x}$ اگر $x>۰$ و $athbf{|x| = -x}$ اگر $x<۰$): 1. **حالت اول ($athbf{x > ۰}$)**: $$f(x) = \frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = \mathbf{۱}$$ 2. **حالت دوم ($athbf{x < ۰}$)**: $$f(x) = \frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = \mathbf{-۱}$$ **ضابطه دوضابطه‌ای**: $$\mathbf{f(x) = \begin{cases} ۱ & x > ۰ \\ -۱ & x < ۰ \end{cases}}$$ --- ### ب) رسم نمودار تابع $f$ نمودار از دو خط افقی تشکیل شده است که هر دو در $x=۰$ **توخالی** هستند: * **برای $x > ۰$**: خط افقی $athbf{y = ۱}$ (با یک حفره در $(۰, ۱)$) * **برای $x < ۰$**: خط افقی $athbf{y = -۱}$ (با یک حفره در $(۰, -۱)$) --- ### پ) حد چپ و حد راست در صفر **۱. حد راست ($athbf{x \to ۰^+}$)**: وقتی $x$ از مقادیر مثبت به صفر نزدیک می‌شود، $f(x) = ۱$ است. $$\mathbf{\lim_{x \to ۰^+} f(x) = ۱}$$ **۲. حد چپ ($athbf{x \to ۰^-}$)**: وقتی $x$ از مقادیر منفی به صفر نزدیک می‌شود، $f(x) = -۱$ است. $$\mathbf{\lim_{x \to ۰^-} f(x) = -۱}$$ --- ### ت) آیا تابع $f$ در نقطه صفر حد دارد؟ چرا؟ * **شرط وجود حد**: حد تابع در یک نقطه زمانی وجود دارد که $\mathbf{\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)}$ باشد. * **مقایسه**: $$\lim_{x \to ۰^-} f(x) = -۱ \quad \text{و} \quad \lim_{x \to ۰^+} f(x) = ۱$$ * **نتیجه**: $\mathbf{خیر}$، تابع $f$ در $x=۰$ حد **ندارد**. * **دلیل**: چون **حد چپ** ($-۱$) و **حد راست** ($۱$) تابع در $x=۰$ **مساوی نیستند**، حد دو طرفه در این نقطه (نقطه پرش) وجود ندارد.